سرعنوان وبسایت

هندسه اقلیدسی و نا اقلیدسی

هندسه هاي اقليدسي و نااقليدسي

بيشتر مردم نمي دانند كه در حدود يك سده و نيم پيش انقلابي در زمينه هندسه روي داد كه از لحاظ علمي به عمق انقلاب كوپرنيكي در نجوم و از جنبه نتايج فلسفي به اهميت نگره تكامل داروين بود.

كاكستر (Coxeter) هندسه دان كانادايي مي نويسد:
" تاثير كشف هندسه هذلولوي در تصوري كه از حقيقت و واقعيت داريم آنچنان عميق بوده است كه به دشواري مي توانيم تصور كنيم كه امكان وجود هندسه اي غير از هندسه اقليدسي تا چه اندازه در سال 1820 تكان دهنده جلوه كرده است."
اما همه ما امروزه نام هندسه فضا- زمان نگره نسبيت انيشتين را شنيده ايم. در واقع هندسه پيوستار فضا- زمان به حدي به هندسه نااقليدسي وابسته است كه آگاهي از اين هندسه ها شرط لازم براي درك كامل جهانشناسي نسبيت است.
هندسه اقليدسي يا همان هندسه اي كه در دبيرستان خوانده ايم، هندسه اي است كه بيشتر براي تجسم جهان مادي به كار مي بريم. اين هندسه از كتابي به نام اصول (Elements) به دست ما رسيده كه توسط اقليدس، رياضيدان يوناني ، در حدود 300 سال پيش از ميلاد مسيح نگاشته شده است. تصوري كه ما بر اساس اين هندسه از جهان مادي پيدا كرده ايم تا حد زيادي به توسط ايزاك نيوتن در اواخر سده هفدهم ترسيم شده است.
هندسه هايي كه اقليدسي نيستند از مطالعه عميقتر موضوع توازي در هندسه اقليدسي پيدا شده اند. دو نيمخط موازي عمود بر پاره خط PQ را در نمودار زير در نظر بگيريد:

منشاء هندسه:
واژه " ژئومتري " از دو واژه يوناني: ژئو، به معني زمين، و متراين، به معني اندازه گيري آمده است، هندسه در اصل علم اندازه گيري زمين بوده است. هرودت، مورخ يوناني (سده پنجم قبل از ميلاد) پيدايش هندسه را به مساحان مصري نسبت مي دهد. ولي تمدن هاي كهن ديگر ( بابلي،هندي،چيني) هم اطلاعات هندسي زيادي داشته اند. هندسه پيشينيان در واقع گردآورده اي از روش هاي "قاعده سرانگشتي" بود كه از راه آزمايش، بررسي شباهت ها، حدس ها و شهودهاي اتفاقي دست يافتن به آنها ميسر شده بود.
خلاصه، هندسه موضوعي تجربي بود كه جواب هاي تقريبي آن معمولاً براي مقاصد عملي كافي بودند.
بابلي ها 2000 تا 1600 سال پيش از ميلاد مسيح محيط دايره را 3 برابر قطرش مي گرفتند يعني پي را مساوي 3 اختيار مي كردند.
اين همان مقداري است كه ويتروويوس (Vitruvius) معمار رومي به آن داده بود و در نوشته هاي چيني همان مقدار پيدا شده است. حتي يهوديان باستان اين مقدار را مقدس مي شمردند و مي پنداشتند كه كتاب مقدس آن را تثبيت كرده است و تلاش خاخام نهه ميام (Nehemiah) براي تبديل پي به 72/2 به نتيجه نرسيده بود.
مصريان سال 1800 پيش از ميلاد، طبق پاپيروس رايند، مقدار تقريبي پي را چنين مي گرفته اند:

حدس هاي مصريان در پاره اي از موارد درست و در پاره اي ديگر نادرست بودند. يكي از كارهاي برجسته آنان پيدا كردن دستور صحيح براي حجم هرم ناقص مربع القاعده بوده است. از سويي ديگر چنين مي پنداشتند كه دستوري كه براي مساحت مستطيل صحيح است براي هر چهارضلعي نامشخص نيز مي تواند صحيح باشد. هندسه مصري به معني يوناني كلمه علم نبود، بلكه صرفاً انباني بود پر از قواعد محاسبه، بي هيچ موجبي يا توجيهي بابليان در حساب و جبر خيلي از مصريان پيشرفته تر بودند وانگهي، قضيه فيثاغورس را خيلي پيش تر از آنكه فيثاغورس به دنيا بيايد مي دانستند.
ولي يونانيان و بيش از همه طالس اصرار مي ورزيدند كه احكام هندسي بايد از راه استدلال قياسي ثابت شوند نه راه آزمايش و خطا.
طالس با محاسبات قسمتي درست و قسمتي نادرست كه از رياضيات بايلي و مصري در دست بود آشنايي داشت. وي ضمن كوشش براي تميز نتايج درست از نادرست نخستين هندسه منطقي را بنياد نهاد ( طالس به سبب پيشگويي خورشيد گرفتگي سال 585 پيش از ميلاد نيز مشهور است ). استخراج منظم قضايا از راه اثبات، از مشخصات رياضيات يوناني و كاملاً تازه بوده است. نظام بخشي و تابع اصول سازي كه با طالس آغاز شده بود مدت دو سده توسط فيثاغورس و شاگردانش ادامه يافت. معاصران فيثاغورس در او به ديده پيامبري ديني مي نگريستند. او به ابديت روح و تناسخ معتقد بود. او از پيروان خود يك " جمعيت برادري" تشكيل داد كه آداب تهذيب و تزكيه اي خاص خود داشت و پيرو عقايد گياهخواري و اشتراك اموال بود.
تمايز فيثاغورسيان از ديگر گروه هاي مذهبي در اين بود كه آنان اعتلاي روح و يگانگي با خدا را از راه مطالعه موسيقي و رياضي ميسر مي دانستند. در موسيقي، فيثاغورس نسبتهاي صحيح فواصل هارمونيك را حساب كرد. در رياضيات، خواص مرموز و شگفت انگيز اعداد را تعليم مي داد. كتاب هفتم اصول اقليدس كه كتابي درباره نگره اعداد است در مكتب او آموخته مي شد. زماني كه فيثاغورسيان طول هاي گنگ نظير 2√ را كشف كردند به سختي يكه خوردند و در آغاز كوشيدند كه اين كشف را پوشيده نگاه دارند. از آنجايي كه فيثاغورسيان 2√ را عدد نمي شمردند جبر خود را به صورت هندسي درآوردند تا بتوانند2√ و طول هاي گنگ ديگر را به توس
ط پاره خط ( مثلاً 2√ را با قطر مربعي به ضلع واحد) نشان دهند.
پي ريزي منظم هندسه مسطحه توسط مكتب فيثاغورس را بقراط رياضيدان ( با طبيبي به همين نام خلط نشود) در حدود سال 400 پيش از ميلاد مسيح در كتاب اصول سر و صورتي داد با اينكه اين كتاب گم شده است مي توانيم با اطمينان خاطر بگوييم كه قسمت اعظم كتاب هاي اول تا چهارم اصول اقليدس را، كه يك سده بعد منتشر شده، در بر داشته است. فيثاغورسيان هرگز قادر نبودند نگره تناسب هايي را كه بر طول هاي گنگ نيز جاري باشد بسط دهند. اين كار بعداً توسط ائودوكسوس (Eudoxus) كه نگره اش در كتاب پنجم اصول اقليدس گنجانيده شده است، انجام گرفت.
سده چهارم پيش از ميلاد مسيح ناظر شكوفايي آكادمي علوم و فلسفه افلاطون ( كه در حدود 387 پيش از ميلاد بنياد نهاده شد ) بود. افلاطون در كتاب جمهوري مي نويسد: " مطالعه رياضيات دستگاه ذهني را توسعه مي دهد و به كار مي اندازد كه ارزش آن از هزار چشم بيشتر است، زيرا درك حقيقت فقط از راه رياضي ميسر است " افلاطون مي آموخت كه جهان انديشه مهم تر از جهان مادي حواس است زيرا اين جهان سايه جهان اولي است. جهان مادي غاري است نا روشن كه بر روي ديوارهاي آن تنها سايه هاي جهان واقعي خارج را كه به نور خورشيد روشن شده است مي بينيم. خطاهاي حواس بايد از راه تمركز فكر اصلاح شوند، كه خود اين تمركز از راه مطالعه رياضيات بهتر ميسر مي شود. روش سقراطي محاوره اصولاً روش اثبات نامستقيم است كه با آن نشان داده مي شود كه حكم زماني نادرست است كه به تناقضي منجر شود. افلاطون كراراً اثبات گنگ بودن طول قطر مربعي به اضلاع واحد را به عنوان مثالي براي يك روش اثبات نامستقيم (برهان خلف ) آورده است، نكته اينجاست كه اين گنگ بودن طول هرگز نمي توانسته از راه اندازه گيري هاي عيني كه هميشه متضمن يك حاشيه كوچك تجربي خطاست، كشف شود.
اقليدس شاگرد مكتب افلاطون بودكه در حدود 300 سال پيش از ميلاد روش قاطع هندسه يوناني و نگره اعداد را در اصول سيزده جلديش منتشر كرد. با تنظيم اين شاهكار اقليدس ( Eudoxus ) تجربه و كارهاي مهم پيشينيان خود در سده هاي جلوتر را گردهم آورد، تجارب فيثاغورسيان را در كتاب هاي اول تا چهارم و هفتم و نهم، نتايج كارهاي آركيتاس ( Archytas ) را در كتاب هشتم، كارهاي ائودوكسوس را در كتاب هاي پنجم، ششم و دوازدهم و كارهاي تئه تتوس ( Theaetetus ) را در كتاب هاي دهم و سيزدهم.

كتاب اقليدس چنان با طور كامل جانشين كوشش هاي پيشين در شناسانيدن هندسه شد كه كمتر نشانه اي از آن كوشش ها به جا ماند.
روش او در هندسه متجاوز از دو هزار سال بر تعليم اين ماده مسلط بود. روش بنداشتي كه اقليدس به كار برد الگويي است براي آنچه كه ما امروز " رياضيات محض " مي ناميم. محض به معني انديشه محض است، هيچ تجربه عيني براي تحقيق درستي احكام لازم نيست تنها بايد مراقب استدلال در اثبات قضايا بود. اصول اقليدس از اين حيث هم محض است كه متضمن هيچ كاربرد عملي نيست، البته هندسه اقليدسي مورد استعمال بسيار در مسائل عملي مهندسي داشته است، ولي در اصول اشاره اي به آنها نشده است.


روش بنداشتي
رياضيدانان براي كشف قضايا ممكن است از راه هاي آزمايش و خطا، محاسبه حالات ويژه، حدس در نتيجه، الهام و يا از هر راه ديگري استفاده كنند. روش بنداشتي روشي براي اثبات درستي نتايج است براي برخي از نتايج مهم در رياضيات اساساً دليل هاي ناقص داده شده بود است. بنابراين دليل ها به ما اطمينان مي دهند كه نتيجه ها درست هستند. در بسياري از موارد اين استدلال ها نتايج كليتري را عايد مي كنند. مثلاً مصري ها و هنديان به تجربه دريافته بودند كه هرگاه اضلاع مثلثي 3،4 و 5 باشد آن مثلث قائم الزاويه است. اما يونانيان ثابت كردند كه اگر اضلاع a , b و c از مثلثي چنان باشند كه
a²+b²=c² آنگاه مثلث قائم الزاويه است.
روش بنداشتي چيست ؟ اگر بخواهيم از راه استدلال محض شما را متقاعد سازم كه حكم s₁ را بپذيريد بايد بتوانم نشان دهم كه اين حكم چگونه به طور منطقي از حكم ديگر s₂ كه شما قبلاً آن را پذيرفته ايد نتيجه مي شود ولي اگر شما s₂ را قبول نداشته باشيد من بايد نشان دهم كه s₂ چگونه به طور منطقي از يك حكم ديگر s3 نتيجه مي شود ممكن است لازم شود اين عمل را چند بار تكرار كنيم تا به حكمي برسيم كه شما آن را مي پذيريد و احتياجي به اثبات آن نيست حكم اخير نقش يك بنداشت (اصل موضوع ) را ايفا مي كند . اگر نتوانيم به حكمي برسيم كه شما به عنوان مبناي استدلال من بپذيريد دچار تسلسل خواهم شد يعني بايددليل پشت دليل بياورم بي آنكه پاياني داشته باشد.

پس بايد دو شرط مسلم شوند تا درستي برهاني را بپذيريم :
1) پذيرفتن احكامي به نام بنداشت يا اصل موضوع كه به هيچ توجيه ديگري نياز نداشته باشد.
2) توافق بر اينكه كي و چگونه حكمي به طور منطقي از حكم ديگر نتيجه مي شود يعني توافق در برخي از قواعد استدلال.
كار عظيم اقليدس اين بود كه چند اصل ساده، چند حكم كه بي نياز به توجيهي پذيرفتني بودند دستچين كرد و از آنها 465 گزاره نتيجه گرفت كه بسياري از آنها پيچيده بودند و به طور شهودي بديهي نبودند و تمام اطلاعات زمان اورا در بر داشتند.


اصطلاحات تعريف نشده
اقليدس نهايت سعي خود را كرد كه همه اصطلاحات هندسي را تعريف كند، او خط مستقيم را چنين تعريف مي كند " خطي كه به نحوي هموار بر نقاطي كه بر خود آن هستند قرار داشته باشد. " اين تعريف مفيد فايده اي نيست زيرا كه براي فهميدن آن شما بايد قبلاً تصوري از خط داشته باشيد. پس بهتر است خط را به عنوان اصطلاحي تعريف نشده بپذيريم. همچنين اقليدس نقطه را " چيزي كه هيچ جزء ندارد " تعريف مي كند كه باز هم چندان روشن نيست. پس نقطه را هم به عنوان اصطلاحي تعريف نشده مي پذيريم. اينك پنج اصطلاح تعريف نشده كه مبنايي است براي تعريف همه اصطلاحات هندسي ديگر در هندسه مسطحه اقليدسي: نقطه، خط، قرار دارد بر( مثلاً در : دو نقطه فقط بر يك خط منحصر بفرد قرار دارند)، ميان( مثلاً در: نقطه c ميان نقاط A و B قرار دارد) و قابل انطباق.


اصول اقليدس
هندسه اقليدسي بر اساس پنج اصل موضوع زير شكل گرفت:
اصل اول – از هر نقطه مي توان خط مستقيمي به هر نقطه ديگر كشيد.
اصل دوم – هر پاره خط مستقيم را مي توان روي همان خط به طور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم – مي توان دايره اي با هر نقطه دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم كرد.
اصل چهارم – همه زواياي قائمه با هم مساوي اند .
اصل پنجم – از يك نقطه خارج يك خط، يك خط و تنها يك خط مي توان موازي با خط مفروض رسم كرد.
تاريخچه اصل توازي :
در مدتي بيش از دو هزار سال بعضي از بهترين رياضيدانان براي اثبات اصل پنجم اقليدس تلاش كردند، يعني لزومي ندارد كه اصل توازي را به عنوان يك بنداشت بپذيريم بايد بتوانيم آن را از روي بنداشت هاي ديگر ثابت كنيم. تا آنجا كه مي دانيم نخستين تلاشي كه براي اثبات به عمل آمده از آن بطلميوس بوده است. بطلميوس آنچه را كه مي خواست ثابت كند قبول مي كرد، يعني استدلال او اصولاً به دور منجر مي شد. پروكلوس نيز سعي كرد اصل توازي را ثابت كند تجزيه و تحليلي كه از برهان ناقص پروكلوس به عمل آمد نشان مي دهد كه تا چه اندازه بايد مراقب طرز تفكر خود درباره خطوط موازي باشيم شايد شما خطوط موازي را مانند ريل هاي راه آهن تجسم مي كنيد كه در همه جا فاصله شان از هم ديگر يكي است و بست هاي ريل ها بر هر دو موازي عموداند اين تجسم تنها در هندسه اقليدسي درست است بدون اصل توازي، تنها چيزي كه مي توانيم درباره دو خط كه موازي هستند بگوييم اين است كه، مطابق تعريف توازي آنها نقطه مشتركي ندارندو نمي توانيد فرض كنيد كه متساوي الفاصله اند، حتي نمي توانيد فرض كنيد كه يك عمود مشترك دارند. بنابر قول معروف " وقتي واژه اي را به كار مي برم معناي آن همان است كه مي خواهم باشد نه بيشتر و نه كمتر "
مهمترين تلاشي كه بعداً براي اثبات اصل توازي به عمل آمده است از منجم و رياضيدان خواجه نصيرالدين طوسي ( 1274-1201 ) است ولي چون در اثبات او چند فرض وجود دارد كه درستي آنها ثابت نشده است آن را رها مي كنيم و به جان واليس مي پردازيم او بنداشت تازه اي كه حس مي كرد بيش از اصل توازي مقبول است طرح نمود سپس اصل توازي را از روي اين بنداشت تازه و بنداشت هاي ديگر هندسه نتاري ثابت كرد. ساكري و لامبرت تلاش هاي ديگري براي اثبات اصل توازي به عمل آوردند. فكر ساكري اين بود كه از يك برهان خلف استفاده كند، اونقيض اصل توازي را فرض كرد و سپس كوشيد تا تناقضي را از آن نتيجه بگيرد به ويژه بعضي از چهارضلعي ها را كه زواياي مجاور به قاعده شان قائمه و اضلاع اين زوايا با هم قابل انطباق اند مورد مطالعه قرار داد اين چهارضلعي ها بعدها به چهارضلعي هاي ساكري معروف شدند.

سه حالت ممكن است پيش بيايد:
1) زاويه هاي بالايي قائمه اند
2) زاويه هاي بالايي منفرجه اند
3) زاويه هاي بالايي حاده اند
براي اثبات حالت اول، يعني همان حالتي كه در هندسه اقليدسي هست، ساكري كوشش كرد نشان دهد كه دوحالت ديگر به تناقض منجر مي شوند. او توانست نشان دهد كه حالت دوم منجر به تناقض مي شود ولي هر اندازه كوشش كرد نتوانست تناقضي در حالت سوم به دست آورد و آن را " فرض خصمانه زاويه حاده " ناميد. او موفق شد نتايج بسيار عجيبي بدست آورد ولي تناقضي بدست نياورد. با اينكه ساكري خود متوجه نشده بود، هندسه نااقليدسي را كشف كرده بود.
با راهي مشابه راه مسئله توازي، يوهان هاينريش لامبرت چهار ضلعي هايي را كه لااقل سه زاويه قائمه دارند مورد مطالعه قرار داد، كه حالا به نام خود او معروف اند. لامبرت كه بيشتر از ساكري به جلو رفته بود نشان داد كه فرض زاويه حاده مستلزم اين است كه مساحت يك مثلث با كاستي آن متناسب باشد و مي پنداشت اين فرض به هندسه اي در روي " كره با شعاع انگاري" مربوط مي شود.
تلاشهايي كه براي اثبات اصل پنجم اقليدس صورت گرفته بود به اندازه اي زياد بود كه كلوگل (klugel ) در 1763 موفق شد رساله اي براي دكتري تهيه كند كه در آن نقايص 28 برهان مختلف از اصل توازي را پيدا و در ثابت شدني بودن آن اظهار ترديد كند.
دائره المعارف نويس و رياضيدان فرانسوي دالامبر اين وضع را افتضاح هندسه ناميده بود حتي شصت سال پس از او در 1823 رياضيدان بزرگ فرانسوي لژاندر خيال مي كرد كه برهان آن را پيدا كرده است. رياضيدانان بتدريج نا اميد مي شدند.


كشف هندسه نااقليدسي
جالب است كه وقتي زمان براي ظهور انديشه نويني كاملاً مناسب است آن انديشه در نزد چند كس كم و بيش پديدار مي شود. مثلاً كشف حساب ديفرانسيل و انتگرال در سده هيجدهم به وسيله نيوتن در انگلستان و لايبنيتز در آلمان، و همچنين كشف هندسه نااقليدسي در سده نوزدهم از اين گونه رويدادها هستند.
يانوش بويوئي اكتشافات خود را به صورت يك ضميمه 26 صفحه اي در كتاب تنتامن (Tentamen) در سال 1831 كه به توسط پدرش نوشته شده بود منتشر كرد. پدر يك نسخه از اين كتاب را با شوق فراوان براي دوست آلمانيش گاوس كه بزرگترين رياضيدان مسلم آن عصر بور فرستاد، گاوس استادانه نقص كار او را يافت و به او گوشزد كرد و پاسخ داد: " تمجيد از كار شما به منزله تمجيد از خودم است زيرا كه تمام محتواي كاري را كه پسر شما كرده راهي را كه گزيده و نتايجي را كه به آنها رسيده تقريباً به طور تمام و كمال با تحقيقات خود من كه مدت سي تا سي و پنج سال تمام فكر مرا به خود مشغول داشته يكي است. از اين بابت من خود را سخت شگفت زده مي يابم. اما درباره كار خودم كه تنها اندكي از آن تا كنون منتشر شده است قصدم اين بوده كه اجازه ندهم كسي از آن باخبر شود." گاوس با وجود شهرت عظيمش از علني ساختن كشفياتش در زمينه هندسه نااقليدسي عملاً بيمناك بوده است.
در اين نمايشنامه تاريخي بازيگر ديگري هم براي ربودن گوي شهرت از بويوئي و گاوس قد برافراشت رياضيدان روسي نيكلاي ايوانوويچ لوباچفسكي بود. وي نخستين كسي بود كه عملاً مقاله اي در زمينه هندسه نااقليدسي منتشر كرد( 1829) هنگامي كه اثر او منتشر شد چندان مورد توجه قرار نگرفت بيشتنر به اين علت كه به زبان روسي نوشته شده بود و روسي هايي كه آن را مي خواندند سخت خرده گيري مي كردند. در 1840 مقاله اي به زبان آلماني منتشر كرد كه مورد توجه گاوس قرار گرفت، گاوس آن را در نامه اي به شوماخر مورد ستايش قرار داد و در عين حال تقدم خود را در اين زمينه تكرار كرد.
لوباچفسكي( Lobachevsky ) هندسه اش را در آغاز " هندسه انگاري " و بعد" هندسه عام " نام گذارد و موضوع آن را در مقاله هايي كه منتشر كرد به طور كامل بسط داد. متاسفانه لوباچفسكي در دوران حيات مورد تجليل قرار نگرفت و تا وقتي كه مكاتبات گاوس، پس از مرگ او در 1855 منتشر نشده بود جهان رياضي هندسه نااقليدسي را جدي نگرفته بود. برخي از بهترين رياضيدانان مانند بلترامي، كيلي، كلاين، پوانكاره و ريمان موضوع را جدي گرفتند، بسط دادند، روشن كردند و آن را در شاخه هاي ديگر رياضيات بويژه در نگره توابع همتافت ( Complex ) به كار بردند. در 1868 رياضيدان ايتاليايي بلترامي، براي آخرين بار مسئله اثبات اصل توازي را پيش كشيد و ثابت كرد كه اثبات آن غير ممكن است او اين كار را از اين راه كه هندسه نااقليدسي درست مثل هندسه اقليدسي هندسه اي است سازگار اثبات نمود.


اساساً هندسه نااقليدسي چيست؟
به زبان علمي، هر هندسه اي غير از هندسه اقليدسي را هندسه نااقليدسي گوييم.
بسياري از اينگونه هندسه ها تا كنون شناخته شده اند. هندسه اي كه به توسط گاوس، بويوئي و لوباچفسكي كشف شد هندسه هذلولوي ناميده مي شود. هندسه هذلولوي بنابر تعريف، هندسه اي است كه شما با قبول همه بنداشت هاي هندسه نتاري به دست مي آوريد و به جاي اصل توازي هيلبرت نقيض آن را كه بنداشت هذلولوي ناميده مي شود مي گذاريم.
بنداشت هذلولوي: در هندسه هذلولوي يك خط L و يك نقطه P غير واقع بر L وجود دارند چنانكه دست كم دو خط موازي با L از نقطه P مي گذرند.


هندسه فضاي مادي چيست؟
هرگاه هندسه اقليدسي سازگار باشد هندسه هذلولوي هم سازگار است بدين ترتيب هر دو هندسه به تساوي سازگارند. اكنون اگر بر اساسي منطقي صحبت كنيد مي توانيد تضمين كنيد كه هندسه هذلولوي شايسته آن است كه پا به پاي هندسه اقليدسي حركت كند ولي ممكن است اين احساس هم به شما دست داده باشد كه هندسه هذلولوي اصلاً يك سرگرمي فكري است، در حالي كه هندسه اقليدسي دقيقاً معرف جهان طبيعي است كه ما در آن زندگي مي كنيم و در نتيجه اهميت خيلي بيشتري دارد. اكنون اين طرز ديد را از نزديك تر مورد مطالعه قرار مي دهيم.
به طور قطع، مهندسي و معماري دو گواه صادق اند بر اينكه هندسه اقليدسي در اندازه گيري معمولي، فاصله هايي كه زياد بزرگ نيستند بي اندازه مفيد است ولي هنگامي كه با فاصله هاي بزرگتر سروكار پيدا مي كنيم قدرت نمايش هندسه اقليدسي كمتر قطعيت دارد. مثلاً اگر از جنبه مادي، خط را به راهي كه يك پرتو نوراني طي مي كند تعبير كنيم مي توان مثلث هاي نجومي كه از ستاره ها تشكيل مي شوند را در نظر گرفت و زواياي اين مثلث را اندازه بگيريم و تحقيق كنيم كه آيا مجموع زواياي اين مثلث ˚180 هست يا نيست به سبب خطاي تجربي هرگز يك آزمايش فيزيكي نمي تواند به طور قطع ثابت كند كه فضا اقليدسي است تنها مي تواند اثبات نمايد كه فضا نااقليدسي است.
بحث را ممكن است موشكافانه تر كنيم، بايد به ماهيت ابزارهايمان پي ببريم. آيا طرح آنها بر اساس مفروضات اقليدسي ريخته نشده است؟ بايد در تعبيري كه از خط مي كنيم شك كنيم؟ آيا ممكن نيست كه پرتوهاي نور مسيري منحني داشته باشند؟ بايد تفحص كنيم كه آيا فضا به ويژه فضاي با ابعاد كيهاني را نمي توان با هندسه هايي جز اين دو توصيف كرد؟
گرايش علمي كنوني طرح پرسش اخير است. بر طبق عقيده اينيشتن، فضا زمان جدايي ناپذيرند و هندسه فضا-زمان متاثر از ماده است. به طوريكه پرتوهاي نور بر اثر جاذبه ثقلي اجرام واقعاً خميده شده اند. ديگر، فضا به صورت جعبه تهي نيوتني تصور نمي شود كه سنگهايي كه درون آن گذاشته مي شوند تاثيري بر كرانه هاي آن نداشته باشند. مسئله خيلي پيچپيده تر از آن است كه اقليدس يا لباچفسكي مي پنداشتند هيچ يك از هندسه هاي آنان براي مفهومي كه اكنون از فضا داريم كفايت نمي كند، اين امر از ارزش تاريخي هندسه نااقليدسي ما نمي كاهد. اينشتين مي گويد:" من براي اين تعبير هندسه ارزش زيادي قائلم زيرا اگر با آن آشنا نبودم هرگز قادر به بسط نگره نسبيت نمي شدم. " اينك پاسخ معروف پوانكاره به اين پرسش كه كدام هندسه درست است :" اگر هندسه دانش تجربي بود نمي توانست دانشي دقيق باشد و پيوسته دستخوش تجديد نظر مي بود، بنابراين بنداشت هاي هندسي نه شهودهاي تركيبي قبلي هستند و نه حقايق تجربي، بلكه قراردادي هستند. پس درباره اين پرسش كه آيا هندسه اقليدسي درست است؟ پرسشي بي معني است، درست مثل اينكه بپرسيم آيا دستگاه متري درست است و اوزان و مقياس هاي قديم نادرست اند؟ آيا مختصات دكارتي درست و مختصات قطبي نادرست اند؟ هيچ هندسه اي نمي تواند درست تر از هندسه ديگر باشد، تنها ممكن است مناسبتر باشد. "
ممكن است فكر كنيد كه هندسه اقليدسي مناسب ترين هندسه است، باري مهندسي معمولي چنين است، ولي براي نگره نسبيت نه. از اين گذشته، لوئنبرگ ( Luneburg ) مدعي است كه فضاي قابل رويت، فضايي كه از راه چشم در مغز ما تعصوير مي شود به وسيله هندسه هذلولوي توجيه پذير است.


رياضيات از چه سخن مي گويد؟
بحث پيشين بر اين موضوع كه هندسه، و به طور كلي رياضيات، از چه سخن مي گويد پرتوي تازه مي افكند. هندسه از پرتوهاي نور صحبت نمي كند، ولي مسير يك پرتو نور ممكن است تعبيري مادي از اصطلاح هندسي تعريف نشده خط باشد. يك وقت برتراند راسل گفته بود كه" رياضيات موضوعي است كه در آن نه مي دانيم از چه صحبت مي كنيم و نه مي دانيم كه آنچه كه گوييم راست است." سبب اين است كه برخي از اصطلاحات اوليه ازقبيل نقطه، خط و صفحه تعريف نشده اند و ممكن است به جاي آنها اصطلاحات ديگري بگذاريم بي آنكه در درستي نتايج تاثيري داشته باشد، زيرا كه دليل هاي درست به شكل و نمودار بسته نيستند بلكه فقط به بنداشت هايي كه وضع شده اند و به قواعد منطق، بستگي دارند.
بنابراين، هندسه تمريني است كاملاً صوري براي استخراج برخي از نتايج از بعضي مقدمات صوري. رياضيات احكامي مي سازد به صورت" هرگاه چنين باشد، آنگاه چنان مي شود." و اساساً در آن صحبتي از معني فرض ها يا راست بودن آنها نيست. مفاهيم اوليه از قبيل نقطه و خط كه در فرض ها ظاهر مي گردند به طور ضمني به وسيله اين بنداشتها كه در حكم قواعد بازي هستند و انگار به ما مي گويند چگونه بايد بازي كرد، تعريف مي شوند.
ديدگاه صورتگرايي كه هم اكنون از آن ياد كرديم با عقيده كهن تري كه رياضيات را "حقيقت محض"
مي پندارند و كشف هندسه نااقليدسي بناي آن را به كلي فروريخته است، جدايي اساسي دارد. اين كشف اثر آزادي بخشي بر رياضيدانان داشته است، چنانكه آنان اكنون خود را آزاد ميبينند كه هر مجموعه اي از بنداشت ها را كه دلشان بخواهد ابداع كنند و بر آنها نتايجي مترتب سازند. اشتباه است كه گفته شود رياضيات درست بازيي است صوري كه با نمادها صورت مي گيرد و معني وسيع تري ندارد. رياضيدانان بنداشت ها را به دلخواه نمي سازند. هرگاه دستگاه هاي بنداشتي نتايج جالب توجه به بار نياورند موردتوجه قرار نمي گيرند و سرانجام به دست فراموشي سپرده مي شوند. رازي در رياضيات هست كه بيشتر از هر چيز آدمي را در فشار مي گذارد. اگر ابداعات رياضي صرفاً محصول تخيلات دلخواه رياضيدانان باشد چطور مي شود كه برخي از آنها كاربردهاي فيزيكي پيدا مي كنند، مثل كاربردهايي كه امكان مي دهند مدارهاي حركت آنقدر دقيق حساب شوند كه آدمي را بر ماه فرود آورند؟ هنگامي كه يونانيان به بسط نگره بيضي ها مي پرداختند هرگز تصور نمي كردند كه اين نگره روزي كاربردي براي "مسابقات فضايي" پيدا كند.

• نوشته شده در ۱۵ خرداد ۱۳۸۸   |   
• نظرات - ۰   |   
• نظر بدهید

عنوان نظر
متن نظر
نام
ایمیل

---